Aproximación cálculo del área bajo la curva

Notación sigma 

La suma de n términos a1, a2, a3..... an se denota por

Los limites inferior y superior de la suma son 1y n, respectivamente; es decir, el primero y último término de la sumatoria.

Ejemplo: 1+2+3...+10 

Aproximación del área bajo la curva 

Dividir él área bajo la curva en 2 figuras conocidas, en este caso un rectángulo y un triángulo, de las cuales ya conoces las fórmulas para determinar su área.

Área rectángulo = bxh                                     Área triángulo = bxh/2
                           = 3x1.1                                                          = 3x0.8/2
                            = 3.3 u    


Por último sumarias las áreas de cada = 1.2 u²
Figura para obtener el área total.
Área total= 3.3 u ²+ 1.2 u² = 4.5 u²
Analicemos la función y= - 1/2 x² + 5

Sumando a la Riemann

Si aplicamos la idea del experimento anterior de un modo muy general, considerando n rectángulos de anchos iguales y alturas f(x), y se toman estas como la ordenada correspondiente al valor de un punto de la curva, en donde Δx es la abscisa del punto medio del su intervalo  x, entonces él área del rectángulo de aproximación en ese punto es F (x) Δx.

Donde Δx se puede denominar con Δx = b-a/n y n es el número de franjas que deseamos.

Método de los trapecios

El método de los trapecios es muy similar al de los rectángulos solo con una variante, la cual consiste en considerar infinidad de trapecios.

La fórmula para determinar él área del trapecio es  A= B+b/2 x h

Ejemplo 

Calcular él área bajo la curva F (x)'=x²  en el intervalo [0,3] considerando seis subintervalos.

Solución 

Como primer paso debemos elaborar la gráfica de la función F (x)= x.

El enunciado nos indica los límites del intervalo, es decir, [0,3];  asimismo se especifica que este a su vez se dividirá en 6 subintervalos lo que nos permite calcular la altura del trapecio Δx a partir de la fórmula para Δx

  ΔX= b-a/n

Donde 

b es el límite superior 

a es el límite inferior 

n es el número de intervalos 

Ahora se calcula la altura de cada trapecio, al sustituir los valores en la expresión anterior es decir 

 ΔX= 3-0/6 = 3/6 = 0.5

Como ya conocemos la altura de cada trapecio debemos marcar los seis subintervalos  que nos piden

Es momento de determinar él aérea de los trapecios y para ello, harémos uso de las siguientes
fórmulas


A1= (1/2) [f(x0) + f(x1)]  Δx
A2 = (1/2)  [f(x2) + f(x3)]  Δx
A3= (1/2) [f(x2) + f(x3)] Δx
A4= (1/2) [f(x3)  + f (x4)] Δx
A5 = (1/2) [f(x4) + f(x5)] Δx
A6 = (1/2) [f(x5) + f (x6)] Δx

Resulte necesario tabular la función tomando en cuenta que el incremento en la variable independiente x es la altura del intervalo  x tal como se muestra a continuación

f(x0) =(x0)²  =(0)² = 0
f (x1) = (x1)² = (0.5)²  = 0.25
f(x2) = (x2)² = (1)² = 1
f(x3) = (x3)²  = (1.5)² = 2.25
f(x4) = (x4)² = (2)² = 4
f(x5) = (x5)² = (2.5)² = 6.25
f(x6) = (x6)² = (3)² = 9


Dado que ya conocemos los valores de la función en cada  punto, se calcula él área de cada trapecio y se sustituyen los valores en las fórmulas mencionadas anteriormente de tal modo que
A1= (1/2) [f(x0) + f(x1) ] Δx = (1/2) (0+0.25)(0.5)= (1/2) (0.25)(0.5)= 0.0625
A2= (1/2) [f(x1) + f(x2)] Δx = (1/2) (0.25+1)(0.5) = (1/2)(1.25) (0.5)= 0.3125
A3=(1/2)[f(x2)+f(x3)] Δx = (1/2) (1+2.25)(0.5)= (1/2) (3.25)(0.5) = 0.8125
A4= (1/2)[f(x3)+f(x4)]  Δx= (1/2) (2.25 + 4) (0.5) = (1/2) (6.25)(0.5)= 1.5625
A5= (1/2) [f(x4)+f(x5)] Δx = (1/2) (4+6.25)(0.5) = (1/2)(10.25)(0.5)=2.5625
A6 = (1/2) [f(x5) + f(x6)]  Δx = (1/2) (6.25+ 9) (0.5) = (1/2) (15.25)(0.5)=3.8125

Cómo ya obtuvimos las áreas de cada uno de los trapecios podemos calcular él área total, esta se determina sumando cada una de las áreas anteriores, es decir:

At= A1+ A2+A3+A4+A5+A6

Por último sustituimos valores

AT= 0.0625+0.3125+0.8125+1.5625+2.5625+3.8125 = 9.125 u²